Решение функции y = |x|

Давайте разберём это задание по шагам.

1. Определение предмета и раздела предмета

Это задание относится к предмету "Математика" или, если более конкретно, к разделу "Аналитическая геометрия" и "Исследование функций". Мы рассматриваем функцию \( y = |x| \), которая является одной из элементарных функций, а именно модульной.

2. Модуль числа и график функции \( y = |x| \)

Функция \( y = |x| \) задаётся следующим образом:

\[ y = |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \geq 0, \\ -x, & \text{если } x < 0. \end{cases} \]

Это значит, что функция \( y = |x| \) принимает неотрицательные значения, так как модуль любого числа всегда неотрицателен.

3. Построение графика

График этой функции можно построить следующим образом:

1. Для положительных значений \( x \): Когда \( x \geq 0 \), функция ведёт себя как прямая \( y = x \). Это восходящая прямая с наклоном 45°.
2. Для отрицательных значений \( x \): Когда \( x < 0 \), функция ведёт себя как прямая \( y = -x \). Это нисходящая прямая с тем же наклоном 45°, но в зеркальном отображении относительно оси ординат (вертикальная ось \( y \)).

Таким образом, график функции состоит из двух отрезков прямых, которые сходятся в точке (0, 0), где функция имеет "излом". Точка (0, 0) — это вершина графика.

4. Основные свойства функции \( y = |x| \):

1. Область определения: \( x \in (-\infty, +\infty) \). Функция определена для всех вещественных чисел \( x \).
2. Область значений: \( y \in [0, +\infty) \). Функция всегда принимает неотрицательные значения, так как модуль числа не может быть отрицательным.
3. Чётность функции: Функция \( y = |x| \) является чётной, то есть \( |x| = |-x| \). Это видно по симметрии графика относительно оси \( y \).
4. Непрерывность: Функция непрерывна на всём множестве действительных чисел, но в точке \( x = 0 \) есть особенность — излом (переход от одной прямой к другой).
5. Возрастание и убывание:
   • На промежутке \( (-\infty, 0) \) функция убывает.
   • На промежутке \( (0, +\infty) \) функция возрастает.
6. Экстремумы: Минимум функции находится в точке \( x = 0 \), и его значение равно 0. Максимума у функции нет.

5. Примерные суждения

Теперь коротко поясним с точки зрения применения:

• Если вы работаете с задачами анализа функций (например, искать его минимумы или строить графики), то \( y = |x| \) — хороший пример изучения комплексного поведения модульной функции, которая изменяется в точке 0.

Ответ

Функцию \( y = |x| \) можно представить как "сочетание" двух кусочно-линейных функций:

• \( y = -x \) для \( x < 0 \)
• \( y = x \) для \( x \geq 0 \)

Её график представляет собой "галочку", симметричную относительно оси \( y \), напоминающую форму латинской буквы \( V \). Точка наибольшего изменения (излом) — это начало координат (0, 0), где функция меняет своё направление.

Пусть теперь будет понятно, как выглядит эта функция и её особенности.