Решение функции y = |x|

Давайте разберём это задание по шагам.

1. Определение предмета и раздела предмета

Это задание относится к предмету "Математика" или, если более конкретно, к разделу "Аналитическая геометрия" и "Исследование функций". Мы рассматриваем функцию $\text{(}y=|x|\text{)}$, которая является одной из элементарных функций, а именно модульной.

2. Модуль числа и график функции $\text{(}y=|x|\text{)}$

Функция $\text{(}y=|x|\text{)}$ задаётся следующим образом:

$\text{[}y=|x|=\{\begin{array}{ll}x,& \text{если }x\ge 0,\\ -x,& \text{если }x<0.\end{array}\text{]}$

Это значит, что функция $\text{(}y=|x|\text{)}$ принимает неотрицательные значения, так как модуль любого числа всегда неотрицателен.

3. Построение графика

График этой функции можно построить следующим образом:

1. Для положительных значений $\text{(}x\text{)}$: Когда $\text{(}x\ge 0\text{)}$, функция ведёт себя как прямая $\text{(}y=x\text{)}$. Это восходящая прямая с наклоном 45°.
2. Для отрицательных значений $\text{(}x\text{)}$: Когда $\text{(}x<0\text{)}$, функция ведёт себя как прямая $\text{(}y=-x\text{)}$. Это нисходящая прямая с тем же наклоном 45°, но в зеркальном отображении относительно оси ординат (вертикальная ось $\text{(}y\text{)}$).

Таким образом, график функции состоит из двух отрезков прямых, которые сходятся в точке (0, 0), где функция имеет "излом". Точка (0, 0) — это вершина графика.

4. Основные свойства функции $\text{(}y=|x|\text{)}$:

1. Область определения: $\text{(}x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\text{)}$. Функция определена для всех вещественных чисел $\text{(}x\text{)}$.
2. Область значений: $\text{(}y\in [0,+\mathrm{\infty })\text{)}$. Функция всегда принимает неотрицательные значения, так как модуль числа не может быть отрицательным.
3. Чётность функции: Функция $\text{(}y=|x|\text{)}$ является чётной, то есть $\text{(}|x|=|-x|\text{)}$. Это видно по симметрии графика относительно оси $\text{(}y\text{)}$.
4. Непрерывность: Функция непрерывна на всём множестве действительных чисел, но в точке $\text{(}x=0\text{)}$ есть особенность — излом (переход от одной прямой к другой).
5. Возрастание и убывание:
   • На промежутке $\text{(}(-\mathrm{\infty },0)\text{)}$ функция убывает.
   • На промежутке $\text{(}(0,+\mathrm{\infty })\text{)}$ функция возрастает.
6. Экстремумы: Минимум функции находится в точке $\text{(}x=0\text{)}$, и его значение равно 0. Максимума у функции нет.

5. Примерные суждения

Теперь коротко поясним с точки зрения применения:

• Если вы работаете с задачами анализа функций (например, искать его минимумы или строить графики), то $\text{(}y=|x|\text{)}$ — хороший пример изучения комплексного поведения модульной функции, которая изменяется в точке 0.

Ответ

Функцию $\text{(}y=|x|\text{)}$ можно представить как "сочетание" двух кусочно-линейных функций:

• $\text{(}y=-x\text{)}$ для $\text{(}x<0\text{)}$
• $\text{(}y=x\text{)}$ для $\text{(}x\ge 0\text{)}$

Её график представляет собой "галочку", симметричную относительно оси $\text{(}y\text{)}$, напоминающую форму латинской буквы $\text{(}V\text{)}$. Точка наибольшего изменения (излом) — это начало координат (0, 0), где функция меняет своё направление.

Пусть теперь будет понятно, как выглядит эта функция и её особенности.