Давайте разберём это задание по шагам.
1. Определение предмета и раздела предмета
Это задание относится к предмету "Математика" или, если более конкретно, к разделу "Аналитическая геометрия" и "Исследование функций". Мы рассматриваем функцию , которая является одной из элементарных функций, а именно модульной.
2. Модуль числа и график функции
Функция задаётся следующим образом:
Это значит, что функция принимает неотрицательные значения, так как модуль любого числа всегда неотрицателен.
3. Построение графика
График этой функции можно построить следующим образом:
- Для положительных значений : Когда , функция ведёт себя как прямая . Это восходящая прямая с наклоном 45°.
- Для отрицательных значений : Когда , функция ведёт себя как прямая . Это нисходящая прямая с тем же наклоном 45°, но в зеркальном отображении относительно оси ординат (вертикальная ось ).
Таким образом, график функции состоит из двух отрезков прямых, которые сходятся в точке (0, 0), где функция имеет "излом". Точка (0, 0) — это вершина графика.
4. Основные свойства функции :
- Область определения: . Функция определена для всех вещественных чисел .
- Область значений: . Функция всегда принимает неотрицательные значения, так как модуль числа не может быть отрицательным.
- Чётность функции: Функция является чётной, то есть . Это видно по симметрии графика относительно оси .
- Непрерывность: Функция непрерывна на всём множестве действительных чисел, но в точке есть особенность — излом (переход от одной прямой к другой).
- Возрастание и убывание:
- На промежутке функция убывает.
- На промежутке функция возрастает.
- Экстремумы: Минимум функции находится в точке , и его значение равно 0. Максимума у функции нет.
5. Примерные суждения
Теперь коротко поясним с точки зрения применения:
- Если вы работаете с задачами анализа функций (например, искать его минимумы или строить графики), то — хороший пример изучения комплексного поведения модульной функции, которая изменяется в точке 0.
Ответ
Функцию можно представить как "сочетание" двух кусочно-линейных функций:
Её график представляет собой "галочку", симметричную относительно оси , напоминающую форму латинской буквы . Точка наибольшего изменения (излом) — это начало координат (0, 0), где функция меняет своё направление.